Целочисленное представление действительных чисел

Действительное число А представляют в виде произведения:

А=Ã*ЦМР,

где 

à -- целочисленное представление А, целое число со знаком

ЦМР -- цена младшего разряда, положительная (как правило, относительно маленькая) действительная величина.

Легко видеть, что при равных ЦМР верно:

А±E=(ñẼ)*ЦМР.

При любых, в том числе неравных, ЦМР:

А*E=(Ã*Ẽ)*(ЦМРА*ЦМРЕ),

А/E=(Ã/Ẽ)*(ЦМРА/ЦМРЕ), естественно, при E0.

На этих основных свойствах основано использование целочисленного представления действительных чисел для ускорения вычислений на ЭВМ с ограниченными ресурсами. Основной идеей является то, что целочисленное представление Ã числа А используется в реальных вычислениях в программе для ЭВМ, а цена младшего разряда и само действительное число А существуют только в голове программиста. Ускорение вычислений достигается за счёт того, что операции с целыми числами выполняются аппаратно, а выполнение операций с действительными числами потребовало бы программной реализации этих операций и растраты немалых ресурсов.

Развивая концепцию целочисленного представления, можно легко получить способы для целочисленного представления корней, синусов и косинусов и других необходимых в вычислениях функций. 

В обыденной речи программисты часто отождествляют число и его целочисленное представление, называя и то, и другое словом "число". 

Правила работы с целочисленными представлениями можно выразить словесно, "для первоклассников":

Складывать и вычитать можно только числа с одинаковыми ЦМР.

Умножать (делить) можно числа с разными ЦМР, при этом ЦМР произведения (частного) равна произведению (частному) ЦМР сомножителей (делимого и делителя).

Из словесного выражения правил очевидно, что: 

ЦМР является размерностью целочисленного представления. 

В реальной жизни мы точно так же выражаем расстояния в метрах (футах, милях, вёрстах, локтях, сантиметрах, миллиметрах...), получая различные целочисленные представления одного и того же расстояния, например, от Москвы до Конотопа, выраженные в применяемых единицах длины (ЦМР).

Практическое замечание. ЦМР может быть любым числом, как правило, маленьким относительно выражаемых с его помощью действительных чисел. Тем не менее, часто бывает удобно ЦМР связывать со степенью двойки, например, выбирать ЦМР такими: 1/215, пи/215, r/223 (здесь: "пи" -- число "пи", r -- какое-то значимое для решаемой задачи число, например 1 градус или какая-то его доля).

Содержание>>>